Matemática A · Prova 635
Exercícios de Matemática A do 10.º, 11.º e 12.º anos
A Matemática A acompanha os três anos do ensino secundário nos cursos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas. Desde 2024/2025 entraram em vigor novas Aprendizagens Essenciais, de forma faseada: 10.º ano em 2024/2025, 11.º ano em 2025/2026 e 12.º ano em 2026/2027. Os exercícios desta página seguem esses documentos, tema a tema.
Objetivos de aprendizagem
- Modelar situações do quotidiano (eleições, partilhas, finanças pessoais) com ferramentas matemáticas.
- Analisar dados univariados e bivariados e interpretar criticamente modelos estatísticos.
- Estudar funções dos pontos de vista gráfico, numérico e algébrico, incluindo o cálculo diferencial.
- Resolver problemas de geometria analítica, vetorial e trigonometria.
- Calcular probabilidades e trabalhar com números complexos.
Temas por ano
10.º ano
- Modelos matemáticos para a cidadania
- Estatística
- Geometria sintética no plano
- Funções
- Geometria analítica no plano e no espaço
11.º ano
- Geometria: trigonometria e produto escalar
- Matemática discreta: contagem, sucessões e progressões
- Funções: cúbicas, quárticas, racionais e cálculo diferencial
12.º ano
- Números complexos
- Probabilidade, incluindo o modelo Normal
- Funções: exponencial, logarítmica, inversa, composta e derivadas
- Tema opcional: inferência estatística, primitivas e integrais, ou matrizes
Exemplos de questões com resolução
3 de 30 questões autorais de Matemática A preparadas pela Neves Scholar, com a justificação de cada opção.
10.º ano · Modelos matemáticos para a cidadania
Exemplo 1: Modelos matemáticos nas eleições
Numa assembleia de escola, três listas concorreram à eleição de 5 representantes. A lista P obteve 12 000 votos, a lista Q obteve 7 500 votos e a lista R obteve 4 200 votos. Os lugares são atribuídos pelo método de Hondt.
Quantos representantes elege cada lista (P, Q e R, por esta ordem)?
- (A)2, 2 e 1
- (B)3, 1 e 1
- (C)3, 2 e 0
- (D)4, 1 e 0
Ver resposta e resolução
Opção correta: (B) 3, 1 e 1
No método de Hondt, divide-se o número de votos de cada lista por 1, 2, 3, ... e atribuem-se os lugares aos maiores quocientes. P: 12 000, 6 000, 4 000, 3 000; Q: 7 500, 3 750; R: 4 200, 2 100. Os cinco maiores são 12 000, 7 500, 6 000, 4 200 e 4 000, logo P fica com 3 lugares, Q com 1 e R com 1.
- (A) Incorreta. É a distribuição pelo método dos maiores restos (quotas 2,53; 1,58 e 0,89), não pelo método de Hondt.
- (B) Correta. Os quocientes por 1, 2, 3, ... por ordem decrescente são 12 000 (P), 7 500 (Q), 6 000 (P), 4 200 (R) e 4 000 (P): P elege 3, Q elege 1 e R elege 1.
- (C) Incorreta. O quinto lugar vai para o quociente 4 000 de P, mas o quarto é o 4 200 de R, que é maior do que o 3 750 de Q.
- (D) Incorreta. O quarto quociente de P (3 000) é menor do que 4 200 (R) e do que 3 750 (Q); P não chega a 4 lugares.
Dica de estudo: No método de Hondt, escreva os quocientes de cada lista numa tabela e ordene-os do maior para o menor; o número de lugares é o número de quocientes a escolher.
Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.
11.º ano · Geometria
Exemplo 2: Trigonometria
Pretende-se resolver, no intervalo [0, 2π], a equação trigonométrica cos x = 1/2.
Quais são as soluções da equação nesse intervalo?
- (A){π/3, 2π/3}
- (B){π/6, 11π/6}
- (C){π/3, 4π/3}
- (D){π/3, 5π/3}
Ver resposta e resolução
Opção correta: (D) {π/3, 5π/3}
cos x = cos(π/3) ⇔ x = π/3 + 2kπ ∨ x = −π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ. No intervalo [0, 2π], obtêm-se x = π/3 e x = −π/3 + 2π = 5π/3.
- (A) Incorreta. cos(2π/3) = −1/2; os ângulos com o mesmo seno é que são suplementares.
- (B) Incorreta. cos(π/6) = √3/2, não 1/2.
- (C) Incorreta. cos(4π/3) = −1/2; π/3 e 4π/3 são ângulos com a mesma tangente.
- (D) Correta. cos(π/3) = 1/2 e, por simetria em relação ao eixo das abcissas, também cos(5π/3) = cos(−π/3) = 1/2.
Dica de estudo: No círculo trigonométrico, ângulos com o mesmo cosseno são simétricos em relação ao eixo das abcissas.
Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.
12.º ano · Probabilidade
Exemplo 3: Probabilidade
Um saco contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas, indistinguíveis ao tato. Retiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas.
Qual é a probabilidade de as duas bolas serem pretas?
- (A)9/64
- (B)3/28
- (C)3/8
- (D)1/28
Ver resposta e resolução
Opção correta: (B) 3/28
Na primeira extração, P(preta) = 3/8. Sem reposição, ficam 7 bolas, das quais 2 pretas: P(preta | 1.ª preta) = 2/7. Logo P = 3/8 × 2/7 = 3/28. Em alternativa: C(3,2)/C(8,2) = 3/28.
- (A) Incorreta. 9/64 = (3/8)² corresponde a extrações com reposição.
- (B) Correta. P = 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28.
- (C) Incorreta. 3/8 é a probabilidade de a primeira bola ser preta, apenas.
- (D) Incorreta. 1/28 = 1/C(8,2) contaria só um dos três pares de bolas pretas possíveis.
Dica de estudo: Sem reposição, o número de casos possíveis e favoráveis muda de uma extração para a seguinte; com reposição, não muda.
Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.
As restantes questões estão em revisão pedagógica; a prática interativa no banco de questões abre quando a revisão terminar.
Como estudar Matemática A
Distinga o processo do resultado
Nas provas de Matemática A, muitos itens de construção pedem que a resolução apareça por etapas, e alguns indicam expressamente que não se pode recorrer à calculadora. Treine a escrever cada passo, e não apenas o valor final.
Use o formulário como ferramenta, não como muleta
As provas incluem um formulário. Saber o que lá está (e o que não está) poupa tempo: as regras de derivação estão no formulário, mas a interpretação de um gráfico ou do domínio de uma função não.
Aprenda com os distratores
Nas questões de escolha múltipla, cada opção errada corresponde a um erro típico: sinal trocado, extremante confundido com extremo, juro simples em vez de composto. Ler a justificação de cada opção ajuda a não repetir o erro.