Por que Existem Exatamente Cinco Sólidos de Platão (e Não Seis)
Não é que ninguém achou o sexto. É que ele é impossível, e a prova cabe numa desigualdade com duas frações. Entenda o defeito angular, a relação de Euler e por que um poliedro sempre soma 720 graus de falta.
Por que Existem Exatamente Cinco Sólidos de Platão
Todo livro de geometria espacial apresenta os cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. E quase todo livro apresenta como se fosse uma lista, do mesmo jeito que se apresenta a lista dos planetas.
Só que não é uma lista. É um resultado.
Existem exatamente cinco, não porque ninguém procurou direito o sexto, mas porque o sexto é impossível. E a demonstração disso é curta o suficiente para caber nesta página.
Comece com uma tesoura
Pegue uma folha de papel e recorte um pedaço em volta de um vértice de um cubo. Você vai ter três quadrados grudados, todos se encontrando num ponto.
Agora tente deitar esse pedaço de papel na mesa.
Não encosta. Falta papel.
Três quadrados dão 3 × 90° = 270°, e uma volta completa na mesa precisa de 360°. Faltam 90°, e é essa falta que obriga o papel a se levantar e formar um canto.
Essa falta tem nome: defeito angular do vértice.
E é o conceito inteiro. Todo o resto sai daqui.
O defeito de cada sólido
Para cada um dos cinco, a conta é a mesma: 360° menos a soma dos ângulos das faces que chegam naquele vértice.
- Tetraedro: três triângulos equiláteros, 3 × 60° = 180°. Defeito de 180°.
- Cubo: três quadrados, 3 × 90° = 270°. Defeito de 90°.
- Octaedro: quatro triângulos, 4 × 60° = 240°. Defeito de 120°.
- Dodecaedro: três pentágonos, 3 × 108° = 324°. Defeito de 36°.
- Icosaedro: cinco triângulos, 5 × 60° = 300°. Defeito de 60°.
Agora multiplique cada defeito pelo número de vértices do sólido:
- Tetraedro: 4 vértices × 180° = 720°
- Cubo: 8 × 90° = 720°
- Octaedro: 6 × 120° = 720°
- Dodecaedro: 20 × 36° = 720°
- Icosaedro: 12 × 60° = 720°
Cinco sólidos completamente diferentes, com números de vértices que vão de 4 a 20, e o mesmo total.
Isso não é coincidência. É um teorema, e Descartes chegou nele por volta de 1630: a soma dos defeitos angulares de qualquer poliedro convexo é sempre 720°. Não precisa ser regular. Não precisa ter faces iguais. Não precisa nada.
Por que 720, e não outro número
O 720° não caiu do céu: ele é 2 × 360°, e o 2 vem da relação de Euler, que você provavelmente já viu:
V − A + F = 2
Vértices, menos arestas, mais faces, dá 2 para todo poliedro convexo. Confira no cubo: 8 − 12 + 6 = 2. No dodecaedro: 20 − 30 + 12 = 2.
O teorema de Descartes é essa mesma relação vestida de ângulo: o defeito total é 360° × (V − A + F), ou seja 360° × 2 = 720°.
E aqui está o que torna isso interessante de verdade: são duas contas que não se conhecem. Uma mede ângulos, com transferidor. A outra conta vértices, arestas e faces, com o dedo. Uma delas não faz ideia do que é grau, e a outra não faz ideia do que é contagem. As duas dão o mesmo 720°.
No Neves Labs há um experimento que faz exatamente isso, lado a lado: mede os ângulos nas coordenadas do sólido com arco-cosseno, conta V, A e F pela geometria, e mostra os dois resultados. Você pode girar o sólido, trocar entre os cinco, e ver os dois números baterem em todos.
A desigualdade que fecha a porta
Agora a pergunta do título.
Num sólido de Platão todos os vértices são iguais, então cada um carrega o mesmo defeito: 720° ÷ V. Como V é um número positivo, o defeito de cada vértice tem que ser maior que zero.
Chame de p o número de lados de cada face, e de q o número de faces que se encontram em cada vértice. O ângulo interno de um polígono regular de p lados é (p − 2) × 180° ÷ p. Exigir defeito positivo é exigir:
q × (p − 2) × 180° / p < 360°
Dividindo tudo, sobra:
1/p + 1/q > 1/2
Com p ≥ 3 e q ≥ 3, porque uma face precisa de pelo menos três lados e um vértice precisa de pelo menos três faces para deixar de ser plano.
Agora é só testar:
- p = 3, q = 3: 1/3 + 1/3 = 0,667 > 0,5. Tetraedro.
- p = 3, q = 4: 1/3 + 1/4 = 0,583 > 0,5. Octaedro.
- p = 3, q = 5: 1/3 + 1/5 = 0,533 > 0,5. Icosaedro.
- p = 4, q = 3: 1/4 + 1/3 = 0,583 > 0,5. Cubo.
- p = 5, q = 3: 1/5 + 1/3 = 0,533 > 0,5. Dodecaedro.
- p = 3, q = 6: 1/3 + 1/6 = 0,5. Não passa.
- p = 4, q = 4: 1/4 + 1/4 = 0,5. Não passa.
- p = 6, q = 3: 1/6 + 1/3 = 0,5. Não passa.
E daí em diante só piora: quanto maiores p e q, menor a soma.
Cinco soluções. Acabou. Não há sexto.
O que acontece exatamente na fronteira
Repare que os três casos que falharam deram exatamente 0,5, ou seja, defeito zero.
Defeito zero significa que o papel deita perfeitamente na mesa. E um papel que deita na mesa não forma um canto: ele ladrilha o plano.
- Seis triângulos em volta de um ponto: o padrão de uma treliça triangular.
- Quatro quadrados: o piso do seu banheiro.
- Três hexágonos: a colmeia.
Os três "poliedros que não existem" existem, sim, só que como pisos, não como sólidos. É a mesma desigualdade separando duas coisas que parecem não ter nada a ver: os cinco sólidos platônicos e os três ladrilhamentos regulares do plano.
O que isso vale no ENEM
Geometria espacial cai todo ano, e a relação de Euler é cobrada com frequência. As questões costumam vir num destes formatos:
- Dão dois dos três números (V, A, F) e pedem o terceiro. É substituir em V − A + F = 2.
- Descrevem um sólido por faces ("um poliedro tem 12 faces pentagonais") e pedem vértices ou arestas. Aqui entra a conta auxiliar: cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces, então 2A = soma dos lados de todas as faces. Com 12 pentágonos, 2A = 60, A = 30, e Euler dá V = 20. É o dodecaedro.
- Perguntam se um sólido descrito pode existir. Se V − A + F não der 2, não pode.
Quem entendeu o defeito angular tem uma vantagem nas três: Euler deixa de ser uma fórmula para decorar e vira uma consequência de algo visual, que é a falta de papel no canto.
O que fica
A matemática do ensino médio entrega muita coisa como lista: os cinco sólidos, os casos de fatoração, as relações métricas. Quase sempre há um motivo por trás, e quase sempre o motivo é mais curto e mais bonito que a lista.
Neste caso o motivo cabe em oito palavras: o canto só existe se faltar ângulo nele.
Para treinar geometria espacial com correção comentada, o banco de questões tem exercícios de poliedros, e os laboratórios interativos têm o experimento que mede tudo isso enquanto você gira o sólido.