A Fórmula do Seu Livro de Física Está Errada (e Isso Não é um Defeito)

Abra qualquer livro de Física do ensino médio no capítulo de oscilações. Você vai encontrar esta fórmula:

T = 2π√(L/g)

E, logo abaixo, quase sempre, uma frase parecida com esta: "observe que o período do pêndulo não depende da amplitude da oscilação".

Essa frase é falsa.

Não é uma simplificação didática, não é um arredondamento, não é "verdade para fins práticos". É uma afirmação incorreta sobre o mundo, repetida em milhares de salas de aula, e o mais interessante é que descobrir por que ela está lá ensina mais Física do que a própria fórmula.

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Onde exatamente está a mentira

A equação que descreve um pêndulo de verdade é esta:

θ'' = −(g/L) · sen θ

Ela diz que a aceleração angular é proporcional ao seno do ângulo. E aqui está o problema: essa equação não tem solução em funções elementares. Não existe uma expressão com senos, cossenos, exponenciais e raízes que dê θ em função do tempo. Ela simplesmente não existe.

Então, em algum ponto da dedução, o livro faz o seguinte:

Para ângulos pequenos, sen θ ≈ θ.

E, com essa troca, a equação vira a do oscilador harmônico simples, que tem solução bonita, cujo período é 2π√(L/g) e, de fato, não depende da amplitude.

A independência da amplitude não é uma propriedade do pêndulo. É uma propriedade da aproximação.

Aquela linha costuma passar em meia frase, muitas vezes numa nota de rodapé, e o aluno segue adiante achando que decorou uma lei da natureza quando decorou o comportamento de um modelo simplificado.

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Quanto ela erra, em números

A boa notícia é que o período exato do pêndulo pode ser calculado, só não com funções elementares. Ele envolve uma integral elíptica, e Gauss descobriu há dois séculos como calcular integrais elípticas com altíssima precisão usando a média aritmético-geométrica.

Comparando o período exato com o da fórmula do livro, o erro é este:

• 3° ... o pêndulo real é 0,017% mais lento
• 5° ... 0,048% mais lento
• 10° ... 0,19% mais lento
• 30° ... 1,74% mais lento
• 90° ... 18,03% mais lento
• 179° ... 290,11% mais lento

Repare em três coisas.

Primeira: o erro é sempre para o mesmo lado. O pêndulo real é sempre mais lento do que a fórmula promete. Nunca mais rápido. Isso não é acidente: é consequência de sen θ ser sempre menor que θ, o que enfraquece a força restauradora em relação ao modelo linear.

Segunda: até uns 23 graus, o erro fica abaixo de 1%. Esse é o número que responde à pergunta prática "até quando eu posso usar a fórmula?". Abaixo disso, nenhum experimento de escola tem precisão para notar a diferença.

Terceira: em amplitudes grandes, a fórmula não erra um pouquinho, erra tudo. Em 179 graus o pêndulo quase para no alto, e o período fica quase quatro vezes maior do que o previsto.

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O caso do relógio de pêndulo

Existe um lugar onde 0,03% importa muito: relógios.

Um relógio de pêndulo é calibrado com o pêndulo oscilando numa amplitude específica, digamos 5 graus. Com o passar dos dias, o atrito faz a amplitude diminuir um pouco, digamos para 3 graus. A fórmula do livro diz que nada muda, porque o período não dependeria da amplitude.

Mas depende. Entre 5 e 3 graus, o período encolhe 0,03%. Num dia de 86 400 segundos, isso dá um adiantamento de cerca de 26 segundos por dia. Em um mês, treze minutos.

Foi exatamente esse o problema que atormentou relojoeiros por séculos, e é por isso que relógios de precisão usam mecanismos de escape que mantêm a amplitude constante. A "propriedade" que o livro apresenta como característica do pêndulo é justamente a que a engenharia precisou construir à força.

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Isso não é um defeito da Física. É o que Física é.

Aqui está o ponto que muda a forma de estudar: toda fórmula da Física é um modelo com domínio de validade. Não existe fórmula verdadeira em qualquer circunstância. Existem fórmulas que são boas o bastante dentro de certas condições, e a competência científica de verdade é saber quais são essas condições.

Olhe para as outras aproximações que você usou este ano sem perceber:

PV = nRT (gás ideal). Supõe que as moléculas não ocupam volume e não se atraem. Funciona muito bem em pressões baixas e temperaturas altas. Perto da liquefação, falha completamente, e existe uma equação de Van der Waals justamente para consertá-la.

g = 9,8 m/s² constante. A gravidade cai com o quadrado da distância ao centro da Terra. Tratá-la como constante é excelente perto do chão e inútil para calcular a órbita de um satélite.

"Desprezando a resistência do ar." Essa é declarada, pelo menos. Mas repare que ela é o que permite dizer que dois corpos de massas diferentes caem juntos. Um martelo e uma pena caem juntos no vácuo, e foi preciso levar os dois até a Lua, em 1971, para mostrar isso sem truque.

Henderson-Hasselbalch, na Química. A fórmula do pH de uma solução tampão supõe que o ácido praticamente não se dissocia sozinho. No meio da região tampão ela é ótima. No comecinho de uma titulação ela chega a prever um pH menor que o do ácido puro, o que significaria que pingar base deixa a solução mais ácida.

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O que o ENEM realmente cobra

Preste atenção na linguagem dos enunciados. O ENEM praticamente nunca pede que você aplique uma fórmula em abstrato. Ele pede que você aplique um modelo dentro das condições que ele mesmo estabelece, e essas condições vêm escritas:

• "Desprezando a resistência do ar..."
• "Considerando o gás como ideal..."
• "Supondo o sistema isolado..."
• "Para pequenas oscilações..."

Cada uma dessas frases é o enunciado te entregando o domínio de validade de bandeja. Elas não são enfeite nem formalidade: são a parte do problema que diz qual modelo usar.

E, com frequência, a questão difícil é justamente aquela em que o enunciado retira uma dessas condições, e espera que você perceba que o resultado muda qualitativamente. Um aluno que decorou fórmulas não tem como perceber. Um aluno que entende que fórmulas têm domínio, percebe.

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Três perguntas para fazer a toda fórmula nova

Quando você aprender uma fórmula daqui em diante, faça estas três perguntas antes de decorá-la:

1. O que foi simplificado para chegar até aqui? Procure a linha da dedução onde algo foi trocado por algo parecido. Quase sempre existe. Se o livro não mostra a dedução, isso já é informação.

2. Em que direção ela erra? Saber que o pêndulo real é sempre mais lento, nunca mais rápido, é mais útil do que saber o valor do erro. Direção de erro é o tipo de coisa que salva numa questão de "o valor obtido é maior ou menor que o real".

3. Onde ela quebra de vez? Toda aproximação tem um regime onde ela deixa de ser aproximação e passa a ser ficção. Saber onde fica esse ponto é saber usar a ferramenta.

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Ver acontecendo

No Neves Labs existe um experimento chamado Período do Pêndulo que faz exatamente essa comparação na sua frente: de um lado, um pêndulo integrado a partir da equação de verdade, com o período cronometrado no movimento; do outro, o período exato pela fórmula fechada. Os dois números batem, e o terceiro é o do livro, errando na sua frente enquanto você puxa a amplitude.

Não é uma animação ilustrativa. É a equação sendo resolvida quadro a quadro, e o erro sendo medido, não anunciado.

E na Química existe o experimento de Curva de Titulação, onde a linha tracejada de Henderson-Hasselbalch acompanha a curva exata no meio e se descola nas pontas, do jeito que toda aproximação faz.

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Conclusão

A frase "essa fórmula está errada" soa como crítica ao livro. Não é.

Nenhum livro poderia ensinar a integral elíptica do pêndulo no primeiro ano do ensino médio, e a aproximação de pequenos ângulos é uma das ideias mais produtivas da história da Física. O problema não é a aproximação: é apresentá-la como se não fosse uma.

Quando você entende que toda fórmula carrega um domínio de validade escondido, três coisas acontecem. Você para de decorar e começa a entender. Você passa a ler enunciados de prova com outros olhos, porque aquelas frases de "desprezando" viram parte do problema. E, principalmente, você passa a fazer à ciência a pergunta que ela mais gosta de responder: sob quais condições isso é verdade?